De dicto модальные структуры математики

В философии математики вопрос о природе математической реальности является наиболее интригующим. Хотя, как и в любом другом случае, в философии математики мы сталкиваемся с переплетением гносеологической (природа познания математической реальности), эпистемологической (природа истинности математических утверждений и истоки ее необходимости) и онтологической (в отношении какой реальности математические утверждения являются истинными) проблемы – вновь, здесь эта связь представлена в наиболее явном виде: решение вопроса о природе предмета рассуждения математиков оборачивается метафизическим фурором.

Если математические сущности – чем бы они ни были – не могут быть предметом непосредственного восприятия, то любое постулирование существования математических объектов претендует открыть совершенно таинственную сферу существующего, которая, помимо всего прочего, содержит в себе ключ к описанию с помощью необходимых истин окружающей нас чувственной реальности (знаменитая проблема непостижимой эффективности математики). В этой связи вполне ясным становится то, почему природа математической реальности и необходимости математических истин не раз вдохновляли спекулятивную философию на культивирование различного рода «метафизических джунглей», столь раздражающих взгляд аналитического философа, который – по словам У. Куайна – предпочитает пустынные пейзажи. Наши характеристики онтологии математики коренятся в анализе математического языка. Только логические исследования последнего могут пролить хоть какой-либо свет на специфику математических сущностей.

Так, например, основания в пользу утверждений о существовании специфических, ни к чему не сводимых математических объектов, обладающих набором свойств, обеспечивающих их идентификацию, зачастую черпаются в устоявшейся трактовке теоремы К. Геделя о неполноте арифметики. Этот, пожалуй, один из наиболее известных результатов математической логики в устах интерпретаторов обращается в окончательный аргумент в пользу реализма математических объектов. Для объективиста математические сущности являются вполне респектабельными объектами: они удовлетворяют критерию Куайна («нет сущности без тождества»), отождествление объектов возможно в силу того, что они обладают набором свойств, обеспечивающих их идентификацию и могут указываться, например, цифрами, выступающими в качестве сингулярных терминов, а модальный характер истинных математических утверждений свидетельствует в пользу de re интерпретации истин математики.

На основе этой метафизики математических сущностей ее сторонник испытывает сильное искушение обратиться к семантической теории С. Крипке [см.1 и 5] как к основанию для интерпретации семантики математических утверждений**. Именно принятие семантической теории Крипке может быть использовано сторонником этой точки зрения для интерпретации математического знания как необходимых синтетических истин. Именно такой расхожей точке зрения мы хотим ниже предложить некоторые возражения. Основой для этих может служить интерпретация П. Бенацеррафом несовместимости аксиоматик теории множества Неймана и Цермело-Френкеля. Объяснением столь странного положения дел коренится в интерпретации математических сущностей не как объектов, а как структур.

Принципиальное отличие объекта от структуры заключается в том, что объекты обладают свойствами «сами по себе», тогда как свойства элемента структуры полностью определяются местоположением объекта внутри структуры – свойства вообще неотличимы от положения в структуре. А зна* Речь идет именно о наиболее распространенной интерпретации результата Геделя. Здесь мы не претендуем высказывать какие-либо суждения о справедливости этой интерпретации и уж тем более воздерживаемся от характеристики спора, возникшего в последние десятилетия, о значимости теоремы Геделя о неполноте для онтологии математики. ** Нас не должно смущать столь странное соседство самых различных логикосемантических, метафизических и сугубо логических положений в рамках одной «концепции». Разнородность становится уже типичной для любителя спекуляций, который избегает столь необходимого при решении тонких проблем философии математики углубления в технически детали. Вся захватывающая метафизическая картина математики, смело нарисованная нашим спекулятивным философом, начинает рушиться.

Принятие точки зрения П. Бенацеррафа и С. Шапиро [см.2, 3 и 6] на то, что математика имеет дело не с объектами, а со структурами, требует переосмысления понятий, которые казались вполне устоявшимися. Среди первых встает вопрос о тождестве. Понятие тождества является фундаментальным понятием, поскольку предполагается всякий раз, когда задаются вопросами о семантике языка математики или истинности математических утверждений: семантика и онтология в случае математики явно определяют друг друга. Нас интересует связь интерпретации тождества математических сущностей и природы истинности математических утверждений в структурализме. Тесна связь проблемы существования математических сущностей и проблемы их указания очевидна, по крайней мере, со времени работ Фреге. И во многом именно ему мы обязаны признанием того факта, что семантические рассуждения могут служить весомым аргументом в решении онтологических проблем.

Онтологический вопрос, сформулированный в духе У. Куайна: «Что есть?», тесно переплетен с семантическими проблемами при решении проблемы объекта при попытке ответить на вопрос о том, что значит «быть объектом»? Можно различать два ответа на этот вопрос: семантический и метафизический Согласно семантическому ответу, объект понимается как возможный референт сингулярного термина (позиция явно сформулированная уже Г. Фреге и поддержанная М. Дамметом), или же, как возможное значение квантифицированной переменной (взгляд У.О. Куайна, выраженный в его лозунге «Быть значит быть значением связанной переменной»). Основная проблема, с которой сталкивается сторонник семантического подхода, состоит в необходимости объяснить возможность пустых сингулярных терминов.

Данная проблема отчасти может быть решена адекватной переформулировкой исходного предложения. Кроме того, необходимо учитывать результаты расселовского анализа неполных символов и стратегии Куайна элиминировать сингулярные термины в пользу кванторов. Защите семантического подхода от других возможных возражений служит утверждение о том, что подлинные указывающие выражения всегда опираются на критерий тождества для указываемых или квантифицируемых объектов (наиболее известным в этой связи является лозунг Куайна «Нет сущности без тождества»). Указанные ограничивающие требования – анализ неполных символов Рассела и стратегия Куайна – ставят пределы неограниченному раздуванию онтологии.

Требование критерия тождества для указываемых или квантифицированных объектов сближает сторонника семантического подхода с пропонентом классического метафизического ответа на поставленный вопрос. Метафизический ответ на вопрос о том, что значит «быть объектом» может быть сформулирован следующим образом: «быть объектом значит быть сущностью, обладающей определенными условиями тождества». [4;511]. Окажутся ли семантический и метафизический ответ одним и тем же ответом, нас не будет интересовать. Для нас существенно то, что, в конечном счете, любая попытка ответить на поставленный вопрос предполагает обращение к проблеме тождества. Среди многообразия формулировок этой проблемы нас будет интересовать только один ее аспект – модальный статус истинных утверждений тождества. Причины этого выбора достаточно очевидны: необходимость истинных утверждений тождества является проблемой, в которой пересекаются проблемы модального статуса математических сущностей и математического знания.

Проблема модального статуса утверждений тождества не раз оказывалась в центре внимания, и один из наиболее интересных способов ее решения был предложен С. Крипке. Как известно, решение Крипке состоит в том, что следует признать необходимость истинных утверждений тождества. Причем само это решение является результатом тесного переплетения семантических и метафизических аргументов. Это решение не раз обсуждалось в литературе, но нам кажется, что его значение для проблем философии математики требует гораздо более пристального внимания, чем ему уделялось. Практически во всех работах С. Крипке присутствуют утверждения о математических понятиях, как правило, именно их он предпочитает в качестве примера своих рассуждений. Исходя только из этого факта нельзя утверждать, что проблемы философии математики являются предметом его специального интереса. Но, как нам кажется, это означает, что метафизические следствия его логикосемантических рассуждений могут быть распространены на традиционные проблемы философии математики. Очертить такие следствия применительно к проблемам философии математики мы попытаемся ниже.

Центральным понятием семантики Крипке является понятие твердого десигнатора, которое он определяет как «термин, который обозначает один и тот же объект во всех возможных мирах». [1;351]. Крипке не однократно указывает, что математические понятия рассматриваются им именно как твердые десигнаторы [см., например, 1;351 или 5;60]. Понятие твердого десигнатора вводится для решения проблемы трансмирового тождества индивидов, возникшей в результате попытки эксплицировать модальные категории с помощью аппарата семантики возможных миров. Понятие твердого десигнатора обеспечивает то, что объект, существующий в различных возможных мирах, имеет одно и тоже имя. Крипке особо подчеркивает, что само понятие возможного мира понимается им как исключительно дескриптивные ресурсы языка для спецификации контрфактических ситуаций, и наличие твердых десигнаторов не влечет необходимости существования указываемого им объекта, но единственным случаем, когда мы можем встретиться с необходимостью существования объекта во всех возможных мирах, является именно математика.

Таким образом, первым следствием идей Крипке для философии математики является возможность утверждать необходимость существования математических сущностей. Существенной чертой математических истин является их необходимость, природа которой эксплицируется средствами модальной логики. Различие между de re и de dicto модальностями является основным для прояснения природы математических сущностей и налагают разные онтологические обязательства. Согласно М. Джубиену, онтологические допущения модальностей заключаются в следующем: если в ($х) (х = с) с соответствует собственное имя, мы сталкиваемся с онтологическими обязательствами, если же с соответствует дескрипция – то нет. В теории С. Крипке имена являются твердыми десигнаторами. Что обязывает нас к de re модальности и признанию существованию математических объектов, обладающими существенными свойствами. В этом случае мы вынуждены признать математические сущности объектами, обладающими существенными свойствами, делающие возможным сформулировать для них критерий тождества и указания термином. Но пример П. Бенацеррафа демонстрирует невозможность принятия указанной позиции: если невозможен принцип индивидуации для чисел, тогда свойства математических сущностей определяются их положение, то есть, отношениями между элементами структуры.

Принимая структуралистскую точку зрения, мы вынуждены отказаться от возможности рассматривать цифры в качестве имен объектов, обладающих свойствами, на основе которых формулируется критерий тождества объект и критерий указания именем. А как следствие – отказаться от de re интерпретации математических истин. В итоге мы должны принять именно de dicto интерпретацию и отказаться от объяснения необходимости математических истин через существенность связи свойства и объекта. Необходимость в математике оказывается обусловленной способом «порождения» математической структуры и не накладывает на нас серьезных метафизических обязательств, в отличие от de re интерпретации.

Литература.

Крипке С. Тождество и необходимость. // Новое в зарубежной лингвистике. Вып. XIII. М.: Радуга, 1982. – с.340-376. 2. Benacerraf P. What numbers could not be. In: Philosophical Review. 1965, vol. 74, № 1. 3. Benacerraf P. Mathematical Truth. In: Philosophy of Mathematics: Selected readings. 2nd edition. – Cambridge University Press, 1983. – P.403-422. 4. Lowe E.J. The metaphysics of abstract objects. In: The Journal of Philosophy. 1995. Vol. xcii, № 10. – 509-524 pp. 5. Kripke S. Naming and Necessity. Basil Blackwell – Oxford. 1980. 6. Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology.Oxford University Press, 1997.