Современные информационные технологии как инструмент преподавателя математики будущего

Вычислительная техника семимильными шагами входит в нашу повседневную жизнь. Она является основой функционирования многих современных «незаметных» и в тоже время «незаменимых» атрибутов нашей жизни. Простым примером такого атрибута являются, например, часы. Электронные часы, калькуляторы, мобильные телефоны, цифровые камеры – это уже не роскошь, а необходимые атрибуты жизни человека в цивилизованном мире.

Если раньше на вычислительную технику смотрели как на инструмент, ориентированный в основном на работу вычислительного характера (незабываемы изречения о стоимости одного часа машинного времени, использованию машины «не по назначению» – имея в виду, например, создание базы данных, непосредственно не связанной с работой вычислительного характера, или, например, подготовкой материалов для публикаций), то в настоящее время она все глубже и глубже проникает в такую сугубо человеческую, интеллектуальную сферу деятельности, какой является образование, воспитание, информатизация. Примерами такой точки зрения являются создание глобальной сети Интернет, системы дистанционного и открытого образования, формирование поисковых систем по базам данных локальных или корпоративных сетей, создание редакционно-издательских систем и многое другое.

Совершенно ясно, что при такой экспансии жизни общества вычислительной техникой, подрастающее поколение находится на острие, в авангарде этой атаки. Поэтому на передний план выступают вопросы ориентации будущего человечества – детей в наборе инструментов и, что наиболее важно, в круге проблем, возникающими в таком водовороте меняющихся событий. Эту важную задачу призваны решить педагоги, оснащенные самыми современными знаниями информационных технологий. Коснёмся только одной с одной стороны небольшой, а с другой стороны – очень важной проблемы из целого комплекса проблем, возникающих перед педагогами в процессе решения сформулированной задачи. Рассмотрим, например, вопросы использования пакетов символьной математики и пакетов подготовки естественно – научных публикаций на уроках математики, как в средней общеобразовательной школе, так и высших учебных заведениях. В настоящее время эти пакеты позволяют решать задачи от самых простых, до серьёзных научных исследований, основанных на выводе формул, численных расчетах, визуализации «решений» математической модели с последующим оформлением полученных результатов в виде научных работ. Такими пакетами являются, например, Maple7 и LaTex2.

Не следует думать, что это единственные пакеты - программы и только они способны решить такие задачи. Однако они заявили о себе в полный рост по той простой причине, что, например, ядро, базовая часть Maple является основой большинства пакетов символьной математики и математики численных расчётов. С другой стороны LaTex в своём историческом развитии также прошёл путь от Texa Дональда Кнута через LaTex с макрокомандами (и естественно с макроопределениями) Лесли Лампорта, до его нынешнего состояния. Своему теперешнему состоянию, возможностям внедрения объектов, цветного изображения текста система подготовки научно – технических публикаций LaTex2? обязана многонациональному коллективу энтузиастов – математиков и программистов. Другими словами, выбор этих пакетов как базовых в процессе становления математической культуры не случаен. Вопрос сложности отпадёт сам собой в процессе работы над конкретными задачами. Единственным критерием сложности будет вопрос методологии ведения соответствующих дисциплин и курсов. И самые простые проблемы можно сформулировать и решать так, что к ним "априори" не подступиться.

Следует отметить, что Maple7 снабжён, с одной стороны, богатой справочной системой, а с другой – представление формул адекватно формулам в ученической тетради. Кроме того, он обладает конвертором в LaTex2?. Это обстоятельство является ещё одним аргументом в пользу параллельного изучения этих пакетов преподавателю математики будущего.
В качестве примера приведём фрагмент аналитического исследования в Maple7 задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений (1,156) с параллельной подготовкой публикации в LaTex (2,87) проводимых исследований.

> restart;
Эллиптическая первого типа;
Параметры проверки решения
> for i from 1 to 2 do O1||i:=1 od: O11,O12;                                             
 
> for i from 1 to 2 do  deu||i:=D(u||i)(x)+(-1)^i*B*u||(3-i)(x)=lambda*u||i(x): od:      
 Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
> deu1;deu2;

> D1:={deu1,deu2}:     
> U1:={u1(x),u2(x)}:    
> S1:={u1(0)=0,u2(0)=1}:S2:={u1(0)=1,u2(0)=0}:
Решение системы при x>0.    Проверка решения.
> for i from 1 to 2 do dsolve(D1 union S||i,U1): O1||i:=odetest(%,D1): U1||i:=convert(%%, list): od: U11,O11;U12,O12;
 
> i:=1: A:=op([1],U1||i[1]) : u2(x):=op([2],U1||i[1]): if A=u1(x) then u1||i(x):=op([2],U1||i[1]); u2||i(x):=op([2],U1||i[2]); else u2||i(x):=op([2],U1||i[1]); u1||i(x):=op([2],U1||i[2]); end if:
> i:=2: A:=op([1],U1||i[1]) : u2(x):=op([2],U1||i[1]): if A=u1(x) then u1||i(x):=op([2],U1||i[1]): u2||i(x):=op([2],U1||i[2]): else u2||i(x):=op([2],U1||i[1]): u1||i(x):=op([2],U1||i[2]): end if:
Фундаментальная матрица решения при x>0
> FU(x):=Matrix([[u11(x),u12(x)],[u21(x),u22(x)]]); 
 
> FU(t):=subs(x=t,eval(FU(x))):
> FU(tau):=subs(x=tau,eval(FU(x))):
> FU(T):=subs(x=T,eval(FU(x))):
> FU(0):=subs(x=0,eval(FU(x))):
> M1:=Matrix([[1,0],[0,1]]):
> M2:=Matrix([[0,0],[0,0]]):
> evalm(M1&*FU(0)):evalm(M2&*FU(T)):
       Матрица M;
> M:=combine(evalm((M1&*FU(0))+(M2&*FU(T))));

> Mobr:=evalm(1/M):
> Mdet:=(linalg[det](%));
 
> FUobr(tau):=evalm(1/FU(tau)):
> FUobr(tau):=simplify(subs(sinh(B*tau)^2-cosh(B*tau)^2=-1,%));

> evalm(FU(0)&*FUobr(tau)):evalm(M1&*%):evalm(Mobr&*%): G(t,tau):=simplify(evalm(FU(t)&*%)):
> G11:=G(t,tau)[1,1]:G12:=G(t,tau)[1,2]: G21:=G(t,tau)[2,1]:G22:=G(t,tau)[2,2]:
> for i from 1 to 2 do G1||i:=combine(factor(G1||i)) od:            for i from 1 to 2 do G2||i:=combine(factor(G2||i)) od:   
Матрица G(t,tau) при 0<tau<t<T
> G(t,tau):=Matrix([[G11,G12],[G21,G22]]);    
                                                                    
> latex(%);
 \left[ \begin {array}{cc} \cos \left( Bt-B\tau \right) {e^{\lambda\,t
-\lambda\,\tau}}&\sin \left( Bt-B\tau \right) {e^{\lambda\,t-\lambda\,
\tau}}\\\noalign{\medskip}-\sin \left( Bt-B\tau \right) {e^{\lambda\,t
-\lambda\,\tau}}&\cos \left( Bt-B\tau \right) {e^{\lambda\,t-\lambda\,
\tau}}\end {array} \right]
> evalm(FU(T)&*FUobr(tau)):evalm(M2&*%):evalm(Mobr&*%): g(t,tau):=evalm(FU(t)&*%):
> g11:=g(t,tau)[1,1]:g12:=g(t,tau)[1,2]: g21:=g(t,tau)[2,1]:g22:=g(t,tau)[2,2]:
> for i from 1 to 2 do g1||i:=combine(factor(g1||i)) od :                    for i from 1 to 2 do g2||i:=combine(factor(g2||i)) od :   
Матрица G(t,tau) при  0<t<tau<T
> g(t,tau):=Matrix([[g11,g12],[g21,g22]]);

> latex(%);
 \left[ \begin {array}{cc} 0&0\\\noalign{\medskip}0&0\end {array}
 \right]
>
>

Список литературы

1.    Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 400 с.
2.    Смирнов В.В. Система обработки текстов LaTeX / В.В. Смирнов. Новосибирск, 1993. 160 с.