Тема «фракталы» в естественно-математическом образовании

Одним из краеугольных камней современного естественнонаучного педагогического образования остается вопрос: насколько глубоко необходимо давать студентам курс использования информационных компьютерных технологий (ИКТ)? Однозначного ответа на данный вопрос найти очень сложно, поскольку, с одной стороны, использование ИКТ в учебном процессе вошло в образовательный стандарт подготовки специалиста как один из разделов методики преподавания предмета. С другой стороны, эффективное использование компьютера учителем возможно лишь при наличии широкого спектра знаний и умений в областях, смежных с информатикой.

Так для будущих учителей химии, географии, биологии очень ценными могут оказаться знания физики и математики. Математика предоставляет аппарат для создания моделей и численного эксперимента в соответствующей области, а физика является предметом, на базе которого большее число математических методов было опробовано и, соответственно, физика может служить определенного рода индикатором адекватности моделей и методов, привлекаемых для описания тех или иных природных явлений.

Современная наука знает массу примеров заимствования оптимальных методов решения задач из других областей знания. Это можно с успехом использовать при подготовке студентов к использованию ИКТ в учебном процессе. В качестве примера приведем рассмотрение темы «Фракталы и природные объекты». Данная тема сочетает и яркость спектра природных объектов и явлений, которые можно привести в качестве примеров, и достаточную простоту математического аппарата, необходимого для понимания сути изучаемых вещей. Кроме того, требуемый для нормального обучения уровень владения компьютером может быть не слишком высоким: опытный пользователь ПК или начинающий программист. А заинтересованность студента в результате работы должна инициировать повышение информационной культуры и стремление к освоению новых методов работы с компьютером.

Фракталы заинтересовали широкие слои научной общественности относительно недавно, поскольку до середины 20-го века к ним относились, как к экзотическим объектам, не имеющим никакой практической значимости. Открытие широкого доступа к ним принято связывать с выходом в свет книги Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» [1].

Пожалуй, основным шагом в понимании роли фракталов как самоподобных объектов в описании природы стала их очевидная схожесть с реальными объектами. Достаточно сравнить множество Жюлиа и береговую линию Норвегии, изрезанную фьордами (географический объект).

Если построить множество Жюлиа способен только начинающий программист под руководством преподавателя, то геометрический фрактал, называемый «Дерево Пифагора», может построить любой пользователь ПК, имеющий навыки работы с векторной графикой в текстовом редакторе MS Word.
Все геометрические фракталы строятся на разнице первого и второго поколений предфрактальной фигуры. Для построения дерева Пифагора в качестве нулевого поколения возьмем сильно вытянутую трапецию. Построение первого поколения состоит в копировании исходной трапеции, уменьшении ее в два раза и создании из полученной трапеции подобия «рожек» на нулевом поколении. При этом угол отклонения может быть выбран произвольно.
 
При построении следующих поколений полученная нами конструкция вновь копируется, уменьшается в два раза и нулевое поколение новой фигуры совмещается с трапециями первого поколения старой фигуры (свойство самоподобия). Описанный способ построения позволяет получить конструкцию симметричную относительно вертикальной оси и похожую на дерево без листьев.

Для получения моделей приближающихся по виду к реальным деревьям можно воспользоваться, например, средствами редактора трехмерной графики 3d studio max фирмы Autodesk. Здесь есть возможность создания трехмерных фигур любой сложности [2].
 
В случае, если студент имеет навыки программирования на каком-либо языке высокого уровня, то ему можно предложить создать дерево Пифагора симметричное или несимметричное, с одинаковыми «плечами» или разной длины, чтобы получить, например, модель плакучей ивы.
 
Даже если навыки программирования не слишком велики, можно взять готовую программу (например, с сайта [3]) и поэкспериментировать, варьируя параметры, используемые при построении.

Следует еще раз отметить, что фракталы являются универсальными объектами для использования в учебном процессе целого ряда дисциплин без потери качества обучения и с использованием ИКТ. Перечислим лишь основные направления моделирования объектов с помощью фракталов.

1.    Математика:
a)    геометрические фракталы;
b)    алгебраические фракталы;
c)    объекты нелинейной динамики.
2.    Информатика:
a)    трехмерные модели;
b)    фрактальные текстуры (например, в Corel Draw);
c)    фрактальное сжатие информации.
3.    Физика:
a)    моделирование поверхности;
b)    обработка сигналов;
c)    модели облаков, шаровой молнии, гелей и пр.
4.    География:
a)    модель ландшафта (гористая или лесистая поверхность);
b)    береговая линия.
5.    Биология:
a)    модели деревьев;
b)    модели окраса животных.

Надо сказать, что «Фракталы» – не единственная тема, которая обладает столь широким охватом областей знаний. Здесь же можно выделить возможности темы «Динамика», которая основывается на аппарате дифференциальных уравнений в математике и простирается в своих приложениях глубины и физики, и химии, биологии, экологии и других наук.
Библиографический список

1. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. – New York: Freeman. – 1982.
2. http://www.visti.net/skl/articles/fractals/sunduchkov.html
3. http://fractalworld.xaoc.ru/every.html